4 juillet 2010

Nantes 2010 Parachute Euler frottement

Un parachutiste tout équipé, de masse 100 kg, saute d'un hélicoptère en vol stationnaire. Le champ de pesanteur sera pris égal à  g = 10 m s-2. le graphe donnant la vitesse au cours de la chute est fourni ci-dessous. 
La force de frottement est du type f = kv2 où k est une constante. 
Elle s'oppose au déplacement. La poussée d'Archimède due à l'air sera négligée lors de la chute.


Etude des différentes phases de la chute.
Phase A : de 0 à 5 s.
Q. Vérifier que l'évolution de la vitesse est en accord avec une chute libre pendant les 5 première secondes.
Phase B : de 5 à 10 s.
Q. Que peut-on dire de l'accélération de cette phase ? Justifier

Phase D : à partir de 13 s.
Q. Quelle est la nature du mouvement ? En déduire l'intensité de la force de frottements, la valeur de k et son unité.

Cas de la chute lors de l'ouverture du parachute ( phase C).
Q. Etablir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la vitesse dans la phase C.

Nous allons utiliser la méthode d'Euler pour prévoir l'évolution temporelle de cette vitesse à des intervalles de temps réguliers Dt entre 10 s et 12 s.
v'(t) = dv/dt est équivalent à v' = a = Dv / Dt.
De plus la variation de la vitesse durant l'intervalle Dt s'écrit : v(t + Dt) -v(t).
Le développement limité à l'ordre 1 d'une fonction dérivable f(x) peut s'écrire : f(x+h) = f(x)+ h f'(x), h étant le pas choisi.

Q.  
-Exprimer littéralement la vitesse v(t + Dt)sous forme d'une suite récurrente de pas t, en fonction de v(t), v2(t) et des autre paramètres.
-Pour quelle raison l'un des pas est-il manifestement inadéquat ?
-Quel est le pas le plus adapté à notre étude pour une résolution numérique rapide ?
-Justifier pourquoi ? Quel moyen matériel permettrait son usage de manière rapide ?
-De quelle valeur a t-on nécessairement besoin pour commencer la résolution par la méthode d'Euler ? -Déterminer celle-ci.
-Déterminer alors les valeurs des trois premières vitesses suite à l'ouverture du parachute par la méthode d'Euler.


correction fixe

correction chimix