Nantes 2010 Parachute Euler frottement

Un parachutiste tout équipé, de masse 100 kg, saute d'un hélicoptère en vol stationnaire. Le champ de pesanteur sera pris égal à  g = 10 m s^-2. le graphe donnant la vitesse au cours de la chute est fourni ci-dessous. 
La force de frottement est du type f = kv² où k est une constante. 
Elle s'oppose au déplacement. La poussée d'Archimède due à l'air sera négligée lors de la chute.

Etude des différentes phases de la chute.
Phase A : de 0 à 5 s.
Q. Vérifier que l'évolution de la vitesse est en accord avec une chute libre pendant les 5 première secondes.
Phase B : de 5 à 10 s.
Q. Que peut-on dire de l'accélération de cette phase ? Justifier

Phase D : à partir de 13 s.
Q. Quelle est la nature du mouvement ? En déduire l'intensité de la force de frottements, la valeur de k et son unité.

Cas de la chute lors de l'ouverture du parachute ( phase C).
Q. Etablir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la vitesse dans la phase C.

Nous allons utiliser la méthode d'Euler pour prévoir l'évolution temporelle de cette vitesse à des intervalles de temps réguliers Dt entre 10 s et 12 s.
v'(t) = dv/dt est équivalent à v' = a = Dv / Dt.
De plus la variation de la vitesse durant l'intervalle Dt s'écrit : v(t + Dt) -v(t).
Le développement limité à l'ordre 1 d'une fonction dérivable f(x) peut s'écrire : f(x+h) = f(x)+ h f'(x), h étant le pas choisi.
Q.  
-Exprimer littéralement la vitesse v(t + Dt)sous forme d'une suite récurrente de pas t, en fonction de v(t), v²(t) et des autre paramètres.
-Pour quelle raison l'un des pas est-il manifestement inadéquat ?
-Quel est le pas le plus adapté à notre étude pour une résolution numérique rapide ?
-Justifier pourquoi ? Quel moyen matériel permettrait son usage de manière rapide ?
-De quelle valeur a t-on nécessairement besoin pour commencer la résolution par la méthode d'Euler ? -Déterminer celle-ci.
-Déterminer alors les valeurs des trois premières vitesses suite à l'ouverture du parachute par la méthode d'Euler.


correction fixe

correction chimix

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Oscillateur mécanique, évolution de systèmes : Nantes 2010.

Oscillateur électrique :

L'oscillateur horizontal est constitué d'un ressort en spires non jointives et d'un objet A de masse m.
La constante de raideur du ressort est notée k, et sa longueur non déformé L0.
On appelle G le centre d'inertie de A.
La position de G quand le ressort n'est pas déformé est G0, d'abscisse 0 de l'axe Ox horizontal.
A l'instant de date t quelconque, l'abscisse de G est x.
Les conditions initiales sont représentées par le point P1 de la figure 4.

Dans le cas où les frottements ne sont pas négligeables, on obtient les graphes des figures 3 et 4.
Q :
-Quelle grandeur caractéristique peut-on obtenir de la figure 3 ? Donner sa valeur.
-Identifier les grandeurs physiques correspondant aux courbes c et d. Justifier.
-Construire l'allure de l'énergie cinétique en fonction de x en justifiant par quelques points particuliers.
-Déterminer la valeur de la constante de taideur k à partir de la figure 4. En déduire la masse de l'objet.
-En supposant la force de frottement constante entre P1 et P2, déterminer sa valeur.
-La valeur de la force de frottement reste t-elle la même lors des trajets P1P3 et P3P5 ?


Evolution de systêmes.
Au cours de différentes manipulations, l'expérimentateur a aquis la grandeur x au cours du temps.
Cette grandeur x peut représenter une position d'un solide, la valeur d'une tension électrique par exemple. 
Les graphes sont à la même échelle.

Q : Pour les affirmations suivantes, indiquer si chacune d'elle est fausse, incomplète ou vrai. Justifier.
1. Le système II représente la plus grande vitesse initiale.
2. Le système présente une vitesse nulle à tout instant t>0 s.
3. Aucun système ne voit sa vitesse diminuer au cours du temps.
4. Les graphes I et IV présentent des systèmes dont la vitesse est croissante.
5. L'accélération des solides liés aux systèmes III et IV est nulle pour tout t>0.

Tracé qualitatif d'un graphe.
un véhicule au repos, démarre à la date t=0 s.
Sa vitesse passe de 0 à 25 m/s en 10 s de manière continue à accélération constante.
De la même manière sa vitesse atteint 30 m/s à la date t= 15 s.
Le véhicule cesse d'accélérer et poursuit sa route à cette vitesse pendant 20 s.
Il ralentit ensuite en perdant 5 m/s par seconde durant 5 s jusqu'à subir un violent choc contre un mur.
Echelles imposées : 1,0 cm pour 2,5 s ; 1,0 cm pour 5,0 m/s ; 1,0 cm pour 100 m.
Q : 
 Pour chacun des graphes on précisera quelques valeurs particulières remarquables.
-Tracer le graphe de l'évolution de la vitesse en fonction du temps.
-Tracer le graphe de l'évolution de la vitesse en fonction du temps.


correction fixe
correction chimix

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