haute voltige, concours kiné AP-HP 2010

Au cirque lors d'un numéro de haute voltige, un trapéziste A s'élance à partir d'un trampoline situé au sol et est rattrapé par un autre trapéziste B situé en hauteur. Le but de ce problème est d'étudié la trajectoire du premier trapéziste assimilé à son centre d'inertie et de mettre en corrélation les mouvements des deux trapézistes pour que la figure soit réussie.

Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.

I. Etude du premier trapéziste.

Le trapéziste de masse mA est lancé d'un point O avec une vitesse initiale v₀, contenue dans le plan vertical Oxy et faisant un angle q avec l'axe horizontal Ox. 

Ce trapéziste est soumis à une force de frottement proportionnelle à la vitesse v :

Q : Etablir l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse caractérisant le mouvement.

Etude sur l'axe horizontal Ox.
Q : 

-Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante v_x de la vitesse.

-En déduire à l'aide des conditions initiales la composante  v_x( t).

-En intégrant l'équation précédente, déduire l'équation horaire x(t).

Etude sur l'axe horizontal Oy

Q : Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante v_y de la vitesse.

En déduire à l'aide des conditions initiales la composante  v_y( 0).

Que deviennent les composantes v_x et v_y de la vitesse lorsque t tend vers l'infini?

Montrer que lorsque t tend vers l'infini, la trajectoire admet une asymptote. Donner l'allure de la trajectoire de A

Donner l'allure de la trajectoire de A.

Q : Dans la question suivante, on néglige les frottements.
Quelles sont les équations horaires du mouvement de A ? En déduire l'équation de la trajectoire.

II. Trajectoire de B placé en réception.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste B assimilé à son centre d'inertie, de masse m_B se balance sur un trapèze assimilé à un pendule, constitué d'un fil inextensible de longueur L, de masse m_P.
On posera m = m_A + m_P.  On prendra l'état d'équilibre pour l'état de référence de l'énergie potentielle.
Le trapéziste s'élance sans vitesse initiale à la date t=0, d'une hauteur h au dessus du sol, le trapèze faisant un angle a₀ avec la verticale.
A une date quelconque t, la position du trapèze est repérée par l'angle a que fait le fil avec la verticale.

 
Q : 

 Etablir à la date t, en fonction de m, g, L et a :
- l'expression de l'énergie potentielle 

- expression de l'énergie cinétique.

- expression de l'énergie mécanique.

-Justifier que l'énergie mécanique se conserve.

-Equation différentielle vérifiée par a.

( on admettra que l'approximation des petits angles est valable sin a ~a)

La solution est supposée de la forme a(t) = A cos (Bt+C) avec A >0.
Q : A l'aide des conditions initiales et de l'équation différentielle, déterminer A, B et C.

Lorsque, au cours du mouvement le trapéziste se balance, il est soumis à une force T due au fil.
Q : Montrer que la valeur de T au point M de la trajectoire peut s'exprimée par la relation :
T = m( v²_E/ l + g ( 3 cos a-2)) où v_E est la vitesse au passage à la position d'équilibre.

II. La figure d'accrochage.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste A de masse 80 kg s'élance à la date t=0 de O à la vitesse de 20 m/s avec un angle  
q = 45 °. Le trapèze se trouve à la distance  d = 20 m du trapéziste A et à une hauteur de 10 m au dessus du sol. Le fil du trapèze a une longueur L = 5,0 m.
On prendra g = 10 SI ; p~3 ; 2^½ ~1,4.
Initialement le trapéziste B se trouve au point B₀ ( 21 m ; 10,27 m )
Q : A quelle date, ce trapéziste B doit-il s'élancer pour récupérer le trapéziste A au point S ( 20 m ; 10 m) après avoir effectué 2 oscillations?

correction fixe

correction Chimix

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Oscillateur mécanique, évolution de systèmes : Nantes 2010.

Oscillateur électrique :

L'oscillateur horizontal est constitué d'un ressort en spires non jointives et d'un objet A de masse m.
La constante de raideur du ressort est notée k, et sa longueur non déformé L0.
On appelle G le centre d'inertie de A.
La position de G quand le ressort n'est pas déformé est G0, d'abscisse 0 de l'axe Ox horizontal.
A l'instant de date t quelconque, l'abscisse de G est x.
Les conditions initiales sont représentées par le point P1 de la figure 4.

Dans le cas où les frottements ne sont pas négligeables, on obtient les graphes des figures 3 et 4.
Q :
-Quelle grandeur caractéristique peut-on obtenir de la figure 3 ? Donner sa valeur.
-Identifier les grandeurs physiques correspondant aux courbes c et d. Justifier.
-Construire l'allure de l'énergie cinétique en fonction de x en justifiant par quelques points particuliers.
-Déterminer la valeur de la constante de taideur k à partir de la figure 4. En déduire la masse de l'objet.
-En supposant la force de frottement constante entre P1 et P2, déterminer sa valeur.
-La valeur de la force de frottement reste t-elle la même lors des trajets P1P3 et P3P5 ?


Evolution de systêmes.
Au cours de différentes manipulations, l'expérimentateur a aquis la grandeur x au cours du temps.
Cette grandeur x peut représenter une position d'un solide, la valeur d'une tension électrique par exemple. 
Les graphes sont à la même échelle.

Q : Pour les affirmations suivantes, indiquer si chacune d'elle est fausse, incomplète ou vrai. Justifier.
1. Le système II représente la plus grande vitesse initiale.
2. Le système présente une vitesse nulle à tout instant t>0 s.
3. Aucun système ne voit sa vitesse diminuer au cours du temps.
4. Les graphes I et IV présentent des systèmes dont la vitesse est croissante.
5. L'accélération des solides liés aux systèmes III et IV est nulle pour tout t>0.

Tracé qualitatif d'un graphe.
un véhicule au repos, démarre à la date t=0 s.
Sa vitesse passe de 0 à 25 m/s en 10 s de manière continue à accélération constante.
De la même manière sa vitesse atteint 30 m/s à la date t= 15 s.
Le véhicule cesse d'accélérer et poursuit sa route à cette vitesse pendant 20 s.
Il ralentit ensuite en perdant 5 m/s par seconde durant 5 s jusqu'à subir un violent choc contre un mur.
Echelles imposées : 1,0 cm pour 2,5 s ; 1,0 cm pour 5,0 m/s ; 1,0 cm pour 100 m.
Q : 
 Pour chacun des graphes on précisera quelques valeurs particulières remarquables.
-Tracer le graphe de l'évolution de la vitesse en fonction du temps.
-Tracer le graphe de l'évolution de la vitesse en fonction du temps.


correction fixe
correction chimix

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