Régimes transitoires électriques concours kiné Nantes 2009

Rappel :
Si x est une grandeur fonction du temps satisfaisant à l'équation différentielle τdx(t)/dt + x(t) = H
où t et H sont constants,
x(t) est de la forme générale : x(t) = K exp^(-t/τ) + H.
K est une constante que l'on détermine en considérant les conditions initiales.


On réalise le montage ci dessous :

Le générateur est une source idéale de tension de fem E = 6,0 V.
A t = 0 on relie les points O et A.

Question : Représenter le circuit parcouru par le courant i(t), et noter les tensions u_L(t) aux bornes de l'inductance L et u_r(t) aux bornes de la résistance r.

Question : Etablir l'équation différentielle relative à i(t).

Question : Préciser les valeurs de l'intensité i(t) aux dates t=0 et t très grand ( régime permanent ).

Question : Déterminer la constante de temps t₁ en fonction de L et r et donner l'expression littérale de i(t).

Question : On coupe la connexion entre O et A.

Le condensateur étant déchargé, on relie O à B à un instant choisit comme nouvelle origine des temps. Représenter le circuit parcouru par le courant i₂(t) ; noter la charge q(t) du condensateur de capacité C, la tension u_C(t) aux bornes du condensateur et la tension u_R(t) aux bornes du conducteur ohmique de résistance R

Question : Etablir l'équation différentielle relative à q(t).

Question : Préciser les valeurs de la charge q(t) aux dates t=0 et t très grand ( régime permanent ).

Question : Déterminer la constante de temps t₂ en fonction de C et R et donner l'expression littérale de q(t).

Question : Donner l'expression littérale de i₂(t).

Question : Le condensateur étant de nouveau déchargé, on relie à l'instant t=0, le point O à la fois à A et B. L'intensité débitée par le générateur de fem E est notée i₃.
Rappeler la loi des noeuds reliant à chaque instant i(t), i₂(t) et i₃(t).

Question : Les expressions de i(t), i₂(t) étant celles obtenues ci-dessus, donner l'expression littérale de i₃(t).


Question : Exprimer les conditions que doivent vérifier les valeurs associées aux composants pour que i₃(t) soit indépendant de t.


Question : Tracer sur le même graphique i(t), i₂(t) et i₃(t) avec les tangentes à l'origine.


Question : Les valeurs des composants étant celles calculées précédemment, on réalise une nouvelle expérience.
Après avoir chargé le condensateur au maximum ( charge q = Q₀), on relie à l'instant t = 0, le point B au point A ( C, L, R et r sont en série).  
Représenter le circuit parcouru par le courant i₁(t) ; noter la charge q(t) du condensateur de capacité C

Question : Montrer que la constante de temps s'exprime par t₁ = (LC)^½.
On notera par la suite t = (LC)^½.

Question : Ecrire l'équation différentielle relative à q(t) où l'on fera apparaître t

Question : Le régime est alors dit apériodique critique. q(t) est de la forme q(t) = (a+ßt) exp(-t/t) où a et ß sont des constantes.
Préciser les valeurs de la charge q et de l'intensité i₁ à t=0 ; en déduire l'expression de q(t).

correction fixe
correction chimix

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