Au cirque lors d'un numéro de haute voltige, un trapéziste A s'élance à partir d'un trampoline situé au sol et est rattrapé par un autre trapéziste B situé en hauteur. Le but de ce problème est d'étudié la trajectoire du premier trapéziste assimilé à son centre d'inertie et de mettre en corrélation les mouvements des deux trapézistes pour que la figure soit réussie.
Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.
I. Etude du premier trapéziste.
Le trapéziste de masse mA est lancé d'un point O avec une vitesse initiale v0, contenue dans le plan vertical Oxy et faisant un angle q avec l'axe horizontal Ox.
Ce trapéziste est soumis à une force de frottement proportionnelle à la vitesse v :
Q : Etablir l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse caractérisant le mouvement.
Etude sur l'axe horizontal Ox.
Q :
Q :
-Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante vx de la vitesse.
-En déduire à l'aide des conditions initiales la composante vx( t).
-En intégrant l'équation précédente, déduire l'équation horaire x(t).
Etude sur l'axe horizontal Oy
Q : Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la composante vy de la vitesse.
En déduire à l'aide des conditions initiales la composante vy( 0).
Que deviennent les composantes vx et vy de la vitesse lorsque t tend vers l'infini?
Montrer que lorsque t tend vers l'infini, la trajectoire admet une asymptote. Donner l'allure de la trajectoire de A
Donner l'allure de la trajectoire de A.
Q : Dans la question suivante, on néglige les frottements.
Quelles sont les équations horaires du mouvement de A ? En déduire l'équation de la trajectoire.
Quelles sont les équations horaires du mouvement de A ? En déduire l'équation de la trajectoire.
II. Trajectoire de B placé en réception.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste B assimilé à son centre d'inertie, de masse mB se balance sur un trapèze assimilé à un pendule, constitué d'un fil inextensible de longueur L, de masse mP.
On posera m = mA + mP. On prendra l'état d'équilibre pour l'état de référence de l'énergie potentielle.
Le trapéziste s'élance sans vitesse initiale à la date t=0, d'une hauteur h au dessus du sol, le trapèze faisant un angle a0 avec la verticale.
A une date quelconque t, la position du trapèze est repérée par l'angle a que fait le fil avec la verticale.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste B assimilé à son centre d'inertie, de masse mB se balance sur un trapèze assimilé à un pendule, constitué d'un fil inextensible de longueur L, de masse mP.
On posera m = mA + mP. On prendra l'état d'équilibre pour l'état de référence de l'énergie potentielle.
Le trapéziste s'élance sans vitesse initiale à la date t=0, d'une hauteur h au dessus du sol, le trapèze faisant un angle a0 avec la verticale.
A une date quelconque t, la position du trapèze est repérée par l'angle a que fait le fil avec la verticale.
Q :
Etablir à la date t, en fonction de m, g, L et a :
- l'expression de l'énergie potentielle
- l'expression de l'énergie potentielle
- expression de l'énergie cinétique.
- expression de l'énergie mécanique.
-Justifier que l'énergie mécanique se conserve.
-Equation différentielle vérifiée par a.
( on admettra que l'approximation des petits angles est valable sin a ~a)
La solution est supposée de la forme a(t) = A cos (Bt+C) avec A >0.
Q : A l'aide des conditions initiales et de l'équation différentielle, déterminer A, B et C.
Q : A l'aide des conditions initiales et de l'équation différentielle, déterminer A, B et C.
Lorsque, au cours du mouvement le trapéziste se balance, il est soumis à une force T due au fil.
Q : Montrer que la valeur de T au point M de la trajectoire peut s'exprimée par la relation :
T = m( v2E/ l + g ( 3 cos a-2)) où vE est la vitesse au passage à la position d'équilibre.
Q : Montrer que la valeur de T au point M de la trajectoire peut s'exprimée par la relation :
T = m( v2E/ l + g ( 3 cos a-2)) où vE est la vitesse au passage à la position d'équilibre.
Les frottements sont négligés.
Le trapéziste A de masse 80 kg s'élance à la date t=0 de O à la vitesse de 20 m/s avec un angle
q = 45 °. Le trapèze se trouve à la distance d = 20 m du trapéziste A et à une hauteur de 10 m au dessus du sol. Le fil du trapèze a une longueur L = 5,0 m.
On prendra g = 10 SI ; p~3 ; 2½ ~1,4.
Initialement le trapéziste B se trouve au point B0 ( 21 m ; 10,27 m )
Q : A quelle date, ce trapéziste B doit-il s'élancer pour récupérer le trapéziste A au point S ( 20 m ; 10 m) après avoir effectué 2 oscillations?
